Logaritmo de 7x na base 49 = logaritmo de 7 na base x
Qual o valor de x?
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Dois Pontos ( 2 ) /0/
1/2. Voce pode provar isso com uma calculadora cientifica. 49^(1/2)=7
Vamos lá.
Temos:
log7x = log7
…49……..x
Vamos mudar a base “x” do 2º membro para a base 49, ficando assim:
log7x = log7/logx
…49……49….49
Veja que log7x = log7 + logx. Então:
……………..49…….49…..49
log7+logx = log7/logx
..49…49…….49….49
Observe que log7 = 1/2. Com isso ficamos:
…………………49
1/2 + logx = (1/2)/logx —–mmc = logx(base 49). Logo:
………..49………….49
logx*(1/2) + logx² = 1/2 ——–arrumando, ficamos com:
..49……………49
(1/2).logx + logx² = 1/2 —-observe que mloga = loga^m. Então:
………..49……49
logx¹/² + logx² = 1/2 —–veja que loga+logb = loga.b. Logo:
…49……..49
logx¹/².x² = 1/2
…49
logx^(¹/²+²) = 1/2
…49
logx^(5/2) = 1/2 . (I)
..49
Agora, veja que, conforme a definição de logaritmo, quando você tem:
loga = y, isso significa que b^(y) = a.
….b
Utilizando, pois, a definição de logaritmo para a nossa igualdade (I) acima, temos que:
49¹/² = x^(5/2) , ou, invertendo:
x^(5/2) = 49¹/²
Agora, veja que:
…………….____
x^(5/2) = Vx^(5)
e ……….___
49¹/² = V49 . Assim, ficamos com:
..____……__
Vx^(5) = V49 ——-elevando os membros ao quadrado, ficamos com:
…___………__
(Vx^5)² = (V49)²
………………………5__
x^5 = 49 —-> x = V49 <----Pronto. Essa é a resposta.OK? Adjemir.
log_49(7x) = log_x(7)
Pelas propriedades logarítmicas:
log(ab) = log(a) + log(b)
log_a(b) = log(b)/log(a)
Portanto, aplicando tais propriedades:
log_49(7) + log_49(x) = log_49(7)/log_49(x)
1/2 + log_49(x) = 1/2/log_49(x)
1/2 + log_49(x) = 1/(2log_49(x))
2log_49(x)/2 + 2.log_49(x).log_49(x) = 1
log_49(x) + 2log²_49(x) = 1
Seja y = log_49(x)
2y² + y – 1 = 0
D = 1² – 4.2.(-1)
D = 1 + 8
D = 9
y’ = [-1 + √9]/4
y’ = 1/2
y” = [-1 – √9]/4
y” = -1
y = log_49(x)
Para y = 1/2
log_49(x) = 1/2
49^(1/2) = x
x = 7
Para y = -1
log_49(x) = -1
49^-1 = x
x = 1/49
Portanto o valor de x é o conjunto solução S tal que:
S = {1/49 ; 7}