A soma dos quadrados de três números em P.A é 116 e o produto dos termos extremos é 32. Qual é a P.A?

Vamos lá.

A soma dos quadrados de três números em PA é 116 e o produto dos termos extremos é 32.
Pede-se que PA é essa.

Vamos chamar os três da PA da seguinte forma:

primeiro termo = x-r
termo do meio = x
terceiro termo = x+r.

Como os seus quadrados somam 116, então:

(x-r)² + x² + (x+r)² = 116
x²-2xr+r² + x² + x² + 2xr + r² = 116 —-trabalhando os fatores semelhantes, temos:
3x²+2r² = 116. (I).

Temos também, conforme o enunciado da questão, que o produto dos termos extremos é 32. Veja que os termos extremos são o 1º e o 3º. Então, vamos multiplicar um pelo outro e igualar a 32, ficando:

(x-r)*(x+r) = 32
x² – r² = 32
x² = 32 + r² . (II).

Vamos substituir, na igualdade (I), o valor de “x²” por “32+r²”, encontrado em (II). Assim, ficamos com:

3*(32+r²) + 2r² = 116
96 + 3r² + 2r² = 116
3r² + 2r² = 116 – 96
5r² = 20
r² = 20/5
r² = 4
……….._
r = +-V4
r = +-2

Assim, a razão poderá ser ou 2 ou -2, ou seja:

r’ = 2
r” = -2.

Vamos, então, substituir,na igualdade (II), o valor de “r” por 2 e por -2. Assim, temos que:

Para r = 2, temos, na igualdade (II), que é (x² = 32 + r²):

x² = 32 + 2²
x² = 32 + 4
x² = 36
………..__
x = +-V36

x = +-6 —-> x’ = 6 ou x” = -6

Para r = -2, temos, na igualdade (II), que é (x² = 32 + r²)

x² = 32 + (-2)²
x² = 32 + 4
x² = 36 <-----Veja que daria o mesmo valor da hipótese de quando substituímos "r" por "2".Assim, como a razão poderá ser 2 ou -2, e como "x" poderá ser 6 ou -6, então, teremos:Para x = 6 e razão = 2, teremos os seguintes números para a PA 1º termo = x-r ----> 6-2 = 4 —-> 4
2º termo = x ——> 6 = 6 ——> 6
3º termo = x+r –> 6+2 = 8—–> 8
Então a PA seria: (4; 6; 8)

Para x = 6 e razão = -2, teremos os seguintes números para a PA:
1º termo = x-r —> 6-(-2)=6+2 = 8 ——-> 8
2º termo = x = 6 —————————–> 6
3º termo = x+r —> 6+(-2) = 6-2 = 4——> 4
Então a PA seria: (8; 6; 4).

Para x = -6 e r = 2, teremos os seguintes termos para a PA
1º termo = x-r = -6-2 = -48 —————>-8
2º termo = x = -6 ————————–> -6
3º termo = x+r = -6+2 = -4 ————–> -4
E a PA seria: (-8; -6; -4)

Para x = -6 e r = -2, teremos os seguintes termos para a PA:
1º termo = x-r = -6-(-2)=-6+2 = -4 —–> -4
2º termo = x = = -6 ———————–> -6
3º termo = x+r = -6+(-2)=-6-2 = -8—–> -8
E a PA seria: (-4; -6; -8).

Então, teríamos 4 PA’s diferentes, mas que satisfazem à proposição do enunciado: “a soma dos quadrados dos três números da PA é 116 e que o produto dos termos extremos é 32”.

OK?
Adjemir.