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Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um
hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum
dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes)
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a)Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas:
b)Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
Se tentarmos usar apenas 2 cores, a condição “A” fica satisfeita, mas a “B” não, veja:
Suponha que as cores são A, B, C e D, e os seis vértices são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Suponha que tentemos pintar os vértices no sentido anti-horário usando apenas 2 cores, A e B.
OBS: Desenhar um héxagono e numerar os vértices de 1 a 6, colocando as cores alternando entre A e B.
É fácil notar que todos os pares de vértices opostos; 1 e 4; 2 e 5; 3 e 6, possuem cores diferentes, o que contradiz o item B, conclusão: devemos utilizar sempre 3 cores.
Com isso utilizaríamos combinação de 4 elementos tomados 3 a 3, se a ordem de pintura não fosse relevante. Mas acontece que a ordem é relevante, veja:
Suponha que as 3 cores escolhidas sejam A, B e C. Poderíamos exemplificar 2 situações possíveis:
1 e 4 –> A
2 e 5 –> B
3 e 6 –> C
ou
1 e 4 –> B
2 e 5 –> C
3 e 6 –> A
Ou seja, este exemplo ilustra 2 possibilidades mudando apenas a ordem de pintura. Isso configura 2 maneiras distintas de pintar o hexágono.
Conclusão: Devemos escolher 3 cores dentre as 4 disponíveis e observando a relevância da ordem, o que significa que devemos utilizar arranjo de 4 elementos tomados 3 a 3.
Arranjo (4,3) = 24 maneiras.
São seis vértices numerados.
1) Escolher uma cor para o vérice 1 => C(4, 1) = 4 escolhas
2) Escolher uma cor para o vérice 2 => C(3, 1) = 3 escolhas
3) Escolher uma cor para o vérice 3 => C(2, 1) = 2 escolhas
4) Escolher uma cor para o vérice 4 => este vértice é oposto ao vértice 1 => repetir a cor do vérice 1 => 1 escolha
5) Escolher uma cor para o vérice 5 => este vértice é oposto ao vértice 2 => repetir a cor do vérice 2 => 1 escolha
6) Escolher uma cor para o vérice 6 => este vértice é oposto ao vértice 3 => repetir a cor do vérice 3 => 1 escolha
Pelo Princípio Multiplicativo: 4*3*2*1*1*1 = 24 maneiras distintas
Boa sorte!