Usando a formula: x^n = n.x^n-1 obtive a resposta 1 / 3(x)^-2/3, mas gostaria de saber através da definição de derivadas, f(x + dx) – f(x)/dx
obrigado
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Assim:
vou usar o h, mas é a mesma coisa para o delta, por aqui no yahoo resposta é dificil para notação matemática né…rsrs
Definição de derivada: f ‘ (x) = lim [ f(x + h) – f(x) ] / h
h -> 0
raiz cubica de x é a mesma coisa que x^(1/3) correto, entao temos:
f ‘ (x) = lim [ (x+ h)^(1/3) – x^(1/3) ] / h;
h -> 0
sabemos em produtos notáveis que: a³ – b³ = (a-b)(a²+ab+b²) considerando (x+ h)^1/3 = a e x^1/3= b, vamos tentar arrumar a equação para que fique nesta forma, então temos:
f ‘(x)=lim {[(x+h)^1/3 – x^1/3][(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]}
h -> 0 /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h}
f ‘(x)=lim {[(x+h)^3/3 – x^3/3][(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]}
h -> 0 /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h}
pela propriedade acima temos que:
f ‘ (x)= lim { [(x+ h)^(3/3) – x^(3/3)].} /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h};
h -> 0
f ‘ (x)= lim { h } /{[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3].h};
h -> 0
f ‘ (x)= lim 1 / {[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]}; cancelamos o h.
h -> 0
f ‘ (x)= lim 1 / {[(x+h)^2/3+(x+h)^1/3.x^1/3+x^2/3]};
h -> 0
f ‘ (x)= 1 / {[(x+0)^2/3+(x+0)^1/3.x^1/3+x^2/3]} = 1 / {[(x^2/3+(x+2/3+x^2/3]}
= 1 / [3 . (x)^2/3] = 1/3 . x^-2/3 finalmente.
abração
f'(x) = lim [ f( x+ ▲x ) – f(x) ]/
▲x ->0 ▲x
Como ³√ x = x^1/3, temos;
f'(x) = lim [(x + ▲x)^1/3 – x^1/3]/
▲x ->0 ▲x
Agora agente usa produtos notáveis facilitar a resolução;
lembrando que (a³ – b³) = (a – b).(a² +ab+ b²), vamos considerar a = (x + ▲x)^1/3 e b = x^1/3.
O que temos na função até agora é (a – b) , que corresponde a (x + ▲x)^1/3 – x^1/3), então vamos multiplicar e dividir tudo por (a² +ab+ b²) que corresponde à
[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
Vamos ter algum assim;
f'(x) = (a – b).(a² + ab + b²)/
(a² + ab + b²)
Que na verdade é;
f'(x) = lim {[( x + ▲x)^1/3 – x^1/3].[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]}/
▲x ->0 ▲x.[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
Como (a – b).(a² + ab + b²) = (a³ – b³);
assim como;
{[( x + ▲x)^1/3 – x^1/3].[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]} ={[(x + ▲x)^1/3]³ – [(x)^1/3]³}
resolvendo temos;
f'(x) =lim {[(x + ▲x)^1/3]³ – [(x)^1/3]³/
▲x ->0 ▲x.[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
f'(x) = lim [(x + ▲x)^3/3 – (x)^3/3]/
▲x ->0 ▲x.[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
f'(x) = lim (x + ▲x – x)/
▲x ->0 ▲x.[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
f'(x) = lim ▲x /
▲x -> ▲x.[(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
Como ▲x/▲x =1 , temos;
f'(x) = lim 1/
▲x ->0 [(x + ▲x)^2/3 + (x + ▲x)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
resolvendo o limite, ou seja igualando ▲x =0 , teremos;
f'(x) = 1 /
[(x + 0 )^2/3 + (x + 0)^1/3.(x)^1/3 + x^2/3]
f'(x) = 1/
x^2/3 + x^1/3.x^1/3 + x^2/3
f'(x) = 1/
x^2/3 + x^2/3 + x^2/3
f'(x) = 1/(3x^2/3)
f'(x) = 1/3.x^-2/3
Neylon Gondim, Aluno de Física UECE.