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Dois pontos materiais movimentam-se sobre trajetórias perpendiculares,segundo as equaçoes horárias:Sa=17- 4t e Sb=6+ 2t(sistema M.K.S.). A origem dos espaços para ambos é o ponto de intersecção entre as retas.Em que instante a distância entre eles é de 13m?
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Sa e Sb são os catetos de um triângulo retângulo. A cada instante, os tamanhos desses catetos mudam. Por exemplo, Sa começa valendo 17 m e vai decrescendo 4 m a cada segundo; já Sb começa valendo 6 m e vai crescendo 2 m a cada segundo. De qualquer forma, a cada instante, a hipotenusa desse triângulo, que é a distância entre os móveis, pode ser calculada:
D² = (Sa)² + (Sb)²
Quando a hipotenusa do triângulo for 13 metros, teremos:
13² = (17 – 4t)² + (6 + 2t)²
169 = 289 – 136t + 16t² + 36 + 24t + 4t²
289 – 136t + 16t² + 36 + 24t + 4t² – 169 = 0
20t² – 112t + 156 = 0
t² – 5,6t + 7,8 = 0
Δ = (-5,6)² – 4.(1).(7,8) = 0,16
√Δ = 0,4
t’ = (5,6 + 0,4)/(2.1) = 3 s
t” = (5,6 – 0,4)/(2.1) = 2,6 s
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Testando: Vejamos se nos tempos de 2,6 s e 3 s a distância entre os pontos materiais é, realmente, 13 metros:
t = 2,6 s
Sa = 17 – 4.(2,6) = 6,6 m
Sb = 6 + 2.(2,6) = 11,2 m
t = 2,6 ⇒ D = √(6,6² + 11,2²) = 13 m
t = 3 s
Sa = 17 – 4.(3) = 5 m
Sb = 6 + 2.(3) = 12 m
t = 3 ⇒ D = √(5² + 12²) = 13 m