E = mc^2 Como essa fórmula foi criada?

História e consequências da descoberta da equivalência massa-energia

USS Enterprise, USS Long Beach e USS Bainbridge em formação no Mediterrâneo, 18 de Julho de 1964. Tripulação do Enterprise soletrando fórmula de equivalência massa-energia em homenagem a primeira Força-tarefa formada apenas por navios com propulsão nuclear
A equivalência ou inter-convertibilidade de energia e massa foi primeiramente enunciada, de forma aproximada, em 1717 por Isaac Newton, na “Questão 30” de Opticks, onde diz:
Não são o corpo rígido e a luz conversíveis um em outro, e não podem os corpos receberem muito de sua atividade de particulas de luz que entram em sua composição?
—Isaac Newton
A fórmula exata para a equivalência massa-energia, entretanto, foi deduzida por Henri Poincaré e Albert Einstein baseado em seu trabalho sobre relatividade. A famosa conclusão deste questionamento é que a massa de um corpo é atualmente uma medida de seu conteúdo em energia. Reciprocamente, a fórmula de equivalência massa-energia sugere que toda energia presente em um sistema fechada afeta a massa de repouso do sistema

De acordo com a fórmula de equivalência massa-energia, a quantia máxima de energia que se pode obter de um objeto, é a massa do objeto multiplicada pelo quadrado da velocidade da luz.
A fórmula de equivalência massa-energia foi usada no desenvolvimento da bomba atômica. Pela medição de massa de diferentes núcleos atômicos e subtraindo dele a massa total de prótons e neutrons como se fossem pesados separadamente, pode-se obter uma estimativa da energia de ligação liberada na reação nuclear, pela comparação da energia de ligação do núcleo que entra e sai da reação.

A origem matemática. Vai ser complicado…
Primeiro você tem que entender as transformadas de Lorentz. Se você não é familiar com o conceito, me avise que dou uma palhinha, mas vou partir do princípio que você as conhece. Também é necessário de algum conhecimento de cálculo diferencial e integral, o que pode complicar MUITO as coisas se você não souber.

No desenvolvimento, “g” será o fator gama da transformada de Lorentz, as letras minúsculos denotam escalares e as maiúsculas vetores, vamos lá? Usando as transformadas de Lorentz é fácil provar que o momento relativístico é:
p = g*m*V.

Usando o teorema do trabalho-energia, a energia imprimida em um móvel que se desloca de R0 até R1 sob ação da força F é:
e = ʃF*dR: [R0, R1]

Aplicando a regra da cadeia para mudar a variável para tempo e usando a definição newtoniana de força:
e = ʃdp/dt*V*dt: [R0, R1]
e = ʃd(g*m*V)/dt*V*dt: [t0, t1]

Resolvendo a integral por partes:
e = g*m*V^2 – ʃg*m*dV/dt: [t0, t1]

Omitindo a resolução das partes separadas:
e = g*m*c^2 [v1, v2]

Se tomarmos a velocidade inicial como zero, v1 = 1 e tomando uma velocidade escalar final como uma velocidade genérica “v”, temos:
e = g*m*c^2 – m*c^2

Podemos simplificar essa expressão omitindo o ultimo termo que é somente uma constante de integração (esse passo é delicado e envolve umas considerações mecânicas cuidadosas que estão no link nas fontes). Chamando ainda o termo g*m de mr, a massa relativística, finalmente chegamos na famosa equação:
e = mr*c^2

Essa equação indica que mesmo no repouso, um sistema possui uma enorme energia. De in[icio Einstein não tinha certeza se isso era só um artefato matemático ou se de fato representava alguma propriedade fundamental da energia de sistemas. Entender essa equação exige mais algumas páginas de considerações e estudos de caso!