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(UFMG) Um número natural n tem três algarismos, todos não-nulos.
A soma dos três algarismos de n é igual a 12 e o quadrado de um desses algarismos é igual
à soma dos outros dois.
Assinale a única afirmativa FALSA em relação a essa situação.
A) n é sempre múltiplo de 3.
B) O produto dos três algarismos de n é sempre menor que 56.
C) 3 é sempre um dos algarismos de n.
D) Existem 21 valores possíveis para n.
Deixar raciocínio e/ou resolução.
Obrigado.
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Vamos lá.
Tem-se que o número “N” tem três algarismos.
A soma desses algarismos, que vamos chamar de “a”, “b” e “c”, é 12. Então:
a+b+c = 12. (I)
É informado que o quadrado de um deles é igual à soma dos outros dois. Então, digamos que:
a² = b + c . (II)
Veja que, para (II) acima, só temos duas hipóteses: a = 2 ou a = 3, porque não existem mais hipóteses para que você eleve ao quadrado os números (não nulos) de 1 a 9, que seja apenas de um algarismo.
Observe que 2² = 4 e 3² = 9. Se formos tomar 4² = 16. Se tomarmos outro algarismos para “a”, que não seja a = 2 ou a = 3, quando formos somar os 3 algarimos a soma não daria 12, mas mais de 12.
Assim, vamos ver a igualdade (II), acima:
para a = 2, teremos que:
2² = b + c
4 = b + c —–veja que poderíamos dizer que b = 3 e que c = 1, ficando:
4 = 3 + 1
4 = 4
Nesse caso, N seria: N = 231 —-somando: 2+3+1 = 6. —-Não SATISFAZ. A soma tem que ser 12.
para a = 3, teremos que:
3² = b + c
9 = b + c —–veja que “b” poderá ser igual a 5 e “c” igual a 4 ou vice-versa:
Assim, o número N seria:
ou
N = 354 ———-> 3 + 5 + 4 = 12 —–SATISFAZ.
ou
N = 345 ——–> 3 + 4 + 5 = 12 ——SATISFAZ.
Logo, como N = 354 ou N = 345, vamos às opções dadas:
a) “N” é sempre múltiplo de 3 ——VERDADEIRA. Veja que a soma dá 12 e 12 é divisível por 3. Logo “N” é múltiplo de 3.
b) O produto dos três algarismos de “N” é sempre menor que 56. Vamos ver:
3*5*4 = 60 ou 3*4*5 = 60. Veja que deu maior do que 56. Então: ——-FALSA. Logo a resposta deverá ser esta. Opção “b”.
c) 3 é sempre um dos algarismos de “N”. —VERDEIRA. Veja que o “3” é um dos algarismos de “N”.
Então, a única FALSA é a opção “b”.
OK?
Adjemir.