geeeente, me ajuda por favor? :s
beeijos s2
Numa P.A, a soma dos 10 primeiros termos é 200 e o quinto termo é o triplo do segundo.Obtenha seu 23° termo?
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Vou tentar explicar :
os termos , de 1 a 10 são
a1, a1+r, a1 + 2r, a1+3r, a1+4r, a1+5r, a1+6r, a1+7r, a1+8r, a1+9r = 200
juntando os semelhantes
10a1 + 45r = 200
do enunciado temos que o 5o termo é o triplo do 2o
3. (a1+ r) = (a1+ 4r)
3a1 + 3r = a1 + 4r
2a1 = r
ai vc pega essa equação isolada ( r= 2a1) e substitui na outra
10 a1 + 45r = 200
10a1 + 45 .( 2a1) = 200
10a1 + 90a1 = 200
100a1 = 200
a1 = 2
se r = 2. a1 ===> r = 2. 2 = 4
a23 = a1 + (n-1). r
a23 = 2 + (23-1). 4
a23 = 2 + 22. 4
a23 = 2 + 88
a23 = 90
Portanto o 23° numero dessa P.A é 90
vou tentar simplificar ao maximo
a soma dos 10 termos vale 200 entao vamos supor que o o primeiro termo seja x e r a razão
entao
(1) {x, (x+r), (x + 2r), (x + 3r), (x + 4r),; (x + 5r);, (x + 6r),;(x + 7r); (x + 8r) ;(x +9r)} essa é a representação dos 10 primeiros termos sabemos qu o quinto termo é o triplo do segundo
entao (x + 4r) = 3(x+r)
(x + 4r) = (3x + 3r)
2x = r
entao a razao é igual a 2x
substituindo em (1)
[x + 3x + 5x + 7x + 9x + 11x + 13x + 15x + 17x + 19x]
sabemos que a soma desses termos e 200
entao aplicaremos a formula para saber o valor de x
Sn ={(a1 + an).n}/2
200= [(x+19x).10]/2 = 100x
200 = 100x
x = 2
se x = 2, razão r = 4
para dar a resposta do 23º termo é só aplicarmos a formula do termo geral an= a1 + (n-1).r
temos a1 = 2 ; temos a razão , r = 4 e temos o numero de termo que 23
logo:
a23 = 2 +(23 – 1) .4
a23 = 2 + 22.4
a 23 = 2 + 88
a23 = 90
portanto o 23º termo é 90
Vamos lá.
Pede-se o 23º termo de uma PA, em que a soma dos 10 primeiros termos é 200.O quinto termo (a5) é o triplo do segundo termo (a2).
Veja que o a5 pode ser expresso assim: a5 = a1+4r. E o a2 pode ser expresso assim: a2 = a1+r.
Então, como o a5 é o triplo do a2, teremos:
a1+4r = 3*(a1+r)
a1+4r = 3a1+3r —-passando “4r” do 1º para o 2º membro e “3a1” do 2º para o 1º, temos:
a1 – 3a1 = 3r – 4r
-2a1 = -r
2a1 = r
a1 = r/2. (I). —–Ou seja, o 1º termo (a1) é igual à razão dividida por 2.
A soma dos termos de uma PA é obtida pela seguinte fórmula:
Sn = (a1 + an)*n/2 . (II)
Já temos que a1 = r/2. Vamos, então calcular “an”, considerando os 10 primeiros termos da PA.
A fórmula para calcular “an” é dada por:
an = a1 + (n-1).r ——-fazendo as devidas substituições, temos:
a10 = r/2 + (10-1).r
a10 = r/2 + 9.r
a10 = r/2 + 9r ——mmc no 2º membro = 2. Assim:
a10 = (r+2*9r)/2
a10 = (r+18r)/2
a10 = 19r/2 . (III)
Agora, vamos para a igualdade (II) e vamos substituir “Sn” por 200, “a1” por r/2 e “a10” por 19r/2. Assim:
200 = (r/2 + 19r/2).10/2
200 = (20r/2)*5
200 = (10r).5 , ou, invertendo:
10r*5 = 200
50r = 200
r = 200/50
r = 4 <-----Essa é a razãoComo já temos que r = 4, então vamos substituir esse valor em (I), para encontrar o a1:a1 = r/2 -----substituindo "r" por 4, temos: a1 = 4/2 a1 = 2Assim o" a10" seria: a10 = a1+9r -----substituindo "a1" por 2 e "r" por 4, temos: a10 = 2+9*4 a10 = 2+36 a10 = 38Então, já tendo os valores de "a1" e de "r", como visto acima, já podemos calcular o a23. Veja que a23 pode ser expresso assim: a23 = a1 + 22r. Assim:a23 = a1+22r -------substituindo "a1" por 2 e "r" por 4, temos: a23 = 2 + 22*4 a23 = 2 + 88 a23 = 90 <----Pronto. Essa é a resposta.Vamos ver se tudo está correto.A soma dos 10 primeiros termos terá que dar 200. Vamos ver se dá mesmo:S10 = (2 + 38)*10/2 S10 = (40)*5 S10 = 200 -----------------ok. Fechou.Agora, só por curiosidade, se você quiser saber os primeiros 23 termos dessa PA, seriam:(2; 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; 34; 38; 42; 46; 50; 54; 58; 62; 66; 70; 74; 78; 82; 86; 90) <----Veja lá que o a10 é realmente 38 e que o a23 é realmente 90.OK? Adjemir.