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2° termo = a1.q
4° termo = a1.q³
5° termo = a1.q³.q
7° termo = a1.q³.q³
Soma do 2° com o 5° = a1.q + a1.q³.q = a1.q.(1+q³) = -210
Soma do 4° com o 7° = a1.q³ + a1.q³.q³ = a1.q³.(1+q³) = -810
Diviindo as duas equaçãoes termo a termo: q² = 810/210 = 81/21
Como a PG é oscilante, q<0.
Logo q = -raiz(81/21) = -9/raiz(21) = -9raiz(21)/21 = -3raiz(21)/7
O primeiro termo a1 é obtido pela soma do 2° com o 5° termo:
a1.q + a1.q³.q = -210
a1(q+(q²)²) = -210
a1 = -210/(q+(q²)²)
a1 = -210/{-3raiz(21)/7 + (81/21)²}
a1 = 210/{3raiz(21)/7 + (27/7)²}
a1 = 210.49/{21raiz(21) + 27²}
a1 = 70.49/{7raiz(21)+9.27}
a1 = 3430/{7raiz(21)+243}
a1 = 3430.{7raiz(21)-243}/{49.21-243²}
a1 = 343.{243-7raiz(21)}/5802
A idéia de “oscilante” vem do fato que os termos ficam alternando entre valores negativos e positivos. Uma Progressão Geométrica é dita como oscilante quando sua razão (q) é negativa:
q < 0 → P.G Oscilante Exemplo: { -1 , x , -x² , x³ ... } q = -xPelo termo geral an = a1 . q^n-1 podemos deixar a2, a5, a4 e a7 em função de a1, observe: a2 = a1 . q^2-1 → a2 = a1 . q a4 = a1 . q^4-1 → a2 = a1 . q^3 a5 = a1 . q^5-1 → a2 = a1 . q^4 a7 = a1 . q^7-1 → a2 = a1 . q^6a soma do 2ºTermo com o 5º é -210 a2 + a5 = -210 (a1.q) + (a1.q^4) = -210 colocamos "a1" em evidência (a1) . (q + q^4) = -210a soma do 4ºTermo com o 7º é -840 a4 + a7 = -840 (a1.q^3) + (a1.q^6) = -840 colocamos "a1" em evidência (a1) . (q^3 + q^6) = -840Montamos um sistema com as duas equações encontradas. Isolamos o valor de "a1" em cada uma delas: a1 . (q + q^4) = -210 → a1 = -210 / (q + q^4) a1 . (q^3 + q^6) = -840 → a1 = -840 / (q^3 + q^6)Igualamos os valores "a1" a1 = a1 -210 / (q + q^4) = -840 / (q^3 + q^6) (q^3 + q^6) / (q + q^4) = (-840) / (-210) (q³) . (1 + q³) / (q) .(1 + q³) = (-840) / (-210) (q³) / (q) = 4 q² = 4 q = √4 q = ±2 É uma P.G oscilante (conforme foi dito acima q < 0) então a razão desta P.G é -2Para sabermos o 1º termo basta substituir em qualquer uma das equações acima: a1 = -210 / (q + q^4) a1 = -210 / ( (-2) + (-2)^4 ) a1 = -210 / ( 14 ) a1 = -15Para determinar os outros termos basta aplicar a fórmula do termo geral an = a1 . q^n-1 an = (-15) . (-2)^n-1 substituindo apenas "n" pela ordem do termo que pretende encontrar.