(UFPel-RS) Os ângulos externos de um polígono com cinco diagonais estão em PA de razão 2. Determine todos os ângulos externos desse polígono.
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Número de diagonais de um polígono = n(n-3)/2
n(n-3)/2 = 5
n(n-3) = 10
n² -3n = 10
n² -3n -10 = 0
n’ = 5 e n” = -2
Como um polígono não tem número de lados negativo, o polígono procurado é o pentágono.
A soma dos ângulos externos de qualquer um polígono é 360°, como estão em PA e a soma dos termos de uma PA é na₁ + n(n-1)r/2. então:
360 = 5a₁ + 5(5-1)2/2
360 = 5a₁ + 5*4
5a₁ + 20 = 360
5a₁ = 360 -20
a₁ = 340/5
a₁ = 68
Usando a formula geral de um termo da PA:
an = a₁ + (n-1)r
a₂ = 68 + (2-1)2 = 70
a₃ = 68 + (3-1)2 = 72
a₄ = 68 + (4-1)2 = 74
a₅ = 68 + (5-1)2 = 76
Temos a PA (68, 70, 72, 74, 76)
Um grande abraço, Muita Paz e Luz.