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O meu problema esta sendo fazer a integral parcial quando temos uma fração, como nos exemplos:
integral[de 0 a1] integral[de 0 a raiz de x] (2y/(x^2 + 1))dydx
integral[de 1 a 2] integral[de y a y^3] e^(x/y) dxdy
Espero que alguem possa me ajudar, mas por favor detalhe a deriada parcial.
Um abraço
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integral[de 0 a1] integral[de 0 a raiz de x] (2y/(x^2 + 1))dydx
Você deve ir “de dentro para fora”. Assim, primeiro resolva a integral interna. No caso,
integral[de 0 a raiz de x] (2y/(x^2 + 1))dy
Sem os limites inferior e superior, o resultado será:
y^2 / (x^2 + 1)
Aplicando os limites:
{[raiz(x)]^2 / (x^2 + 1)} – {[0]^2 / (x^2 + 1)} = x / (x^2 + 1)
Agora você faz a integral mais externa com o resultado anterior:
integral[de 0 a1] x / (x^2 + 1) dx
Aqui, ou você pega uma tabela pronta de integrais, ou pode desenvolver:
(x^2 + 1) = (x + i)(x – i)
(raízes complexas)
integral[de 0 a1] x / (x + i)(x – i) dx
Agora, por semelhança de polinômios, você coloca na forma
x / (x + i)(x – i) = A / (x + i) + B / (x – i)
Fazendo as operações no 2º termo, o mesmo ficará:
(A + B)x – A – Bi / (x + i)(x – i)
Assim, comparando com o primeiro termo,
A+ B = 1 (coeficiente de x)
– A – Bi =0 (termo independente)
Logo,
A = – Bi
– Bi + B = 1
Após operações com conjugado de nº complexo:
B = (1 + i) / 2
A = (1 – i) / 2
Então:
x / (x + i)(x – i) = (1 – i) / 2(x + i) + (1 + i) / 2(x – i)
Agora você transforma a integral em uma soma de integrais:
integral[de 0 a1] x / (x + i)(x – i)dx = integral[de 0 a1] (1 – i) / 2(x + i) dx +
+ integral[de 0 a1] (1 + i) / 2(x – i) dx
Resolvendo o 2º termo:
(1 – i) / 2 . integral[de 0 a1] (x + i)^(-1) dx + (1 + i) / 2 . integral[de 0 a1] (x – i)^(-1) dx
A derivada de (x + i)^(-2) = (-2).(x + i)^(-1)
A derivada de (x – i)^(-2) = (-2).(x – i)^(-1)
Para ajustar a integral, multiplicamos então os dois termos por (-2 / -2)
(1 – i) / (-2).2 . integral[de 0 a1] (-2).(x + i)^(-1) dx + (1 + i) / (-2).2 . integral[de 0 a1] (-2).(x – i)^(-1) dx
Resultando em:
{(i – 1) / 4 . (x + i)^(-2)}limites + {(-i – 1) / 4 .(x – i)^(-2)}limites
Aplicando os limites:
{(i – 1) / 4 . (1 + i)^(-2) – (i – 1) / 4 . (0 + i)^(-2)} +
{(-i – 1) / 4 .(1 – i)^(-2) – (-i – 1) / 4 .(0 – i)^(-2)}
Resultado = – 1/4
A outra é mais fácil. Segue o mesmo esquema:
1º resolva a integral interna em função de x e aplica-se os limites desta integral (y é uma constante);
2º resolva a integral externa em função de y e aplica-se os limites desta integral (x é uma constante);
Você precisará apenas de algumas tabelas de integrais prontas para a exponencial.
Espero ter ajudado!!!