Prove que a série seguinte é convergente e encontre sua soma: ∑(n = 1, ∞) [2/ 5^(n-1)]?

Observe:

+∞……2
..∑ ▬▬▬▬ =
n=1…5ⁿ⁻¹

Podemos escrever essa série como:

+∞……2
..∑ ▬▬▬▬ =
n=1..5ⁿ.5⁻¹

+∞……2
..∑ ▬▬▬▬ =
n=1….5ⁿ
……..▬▬
……….5¹

+∞…..2.5
..∑ ▬▬▬▬ =
n=1…..5ⁿ

+∞……10
..∑ ▬▬▬▬
n=1…..5ⁿ

Para provar que essa série é convergente, basta você aplicar o critério de D`Alembert ( critério da razão ) ou o critério de Cauchy ( critério da raíz ) ou ainda o critério da integral ( já que an = 10/5ⁿ > 0 e é decrescente ).

Vou usar o critério da razão:

∞
∑ an
n=0

………..a_(n+1)
lim…▬▬▬▬▬▬ = L
n–>+∞…..an

Se L < 1 a serie converge Se L > 1 a serie diverge
Se L = 1 nada podemos afirmar

Então;

…………..10
…….▬▬▬▬▬▬
…………..5ⁿ⁺¹
lim….▬▬▬▬▬▬ =
n–>+∞….10
…….▬▬▬▬▬▬
……………5ⁿ

………….10….. ……5ⁿ
lim….▬▬▬▬ . ▬▬▬▬ =
n–>+∞…5ⁿ⁺¹………10

………….1
lim….▬▬▬▬ = 1/5
n–>+∞…5

R ▬▬▬► Como L = 1/5 = 0,2 < 1 , logo a série dada é convergente! c.q.p+∞......10 ..∑ ▬▬▬▬ n=1.....5ⁿCalculando a sua soma, ou melhor , vou provar que a sua soma vale 5/2, temos:..+∞......1 10.∑ ▬▬▬▬ ..n=1.....5ⁿPerceba que trata-se de uma série geométrica, com um pequeno detalhe ela começa apartir de um (n=1), daí;..+∞......1........ ...............x 10.∑ ▬▬▬▬ = Sn = 10.∑..(1/5)ⁿ = 10.[(1/5) + (1/25) + (1/125) + ... + (1/5)ˣ + 1 - 1 ] ..n=1.....5ⁿ......... ..........n=1Então;..+∞......1 10.∑ ▬▬▬▬ - 1 = ..n=0.....5ⁿDaí;......... . x......1 lim...10.∑ ▬▬▬▬ - 1 = x→+∞..n=0...5ⁿ..................1 - (1/5)ˣ ⁺ ¹ 10.lim....▬▬▬▬▬▬▬▬ - 1 = ....x→+∞.....1 - (1/5)..........1 - 0 10.▬▬▬▬▬▬ - 1 = ........1 - (1/5)............1 10.▬▬▬▬▬▬ - 1 = ..........5 - 1 .......▬▬▬▬ ............5..........5 10.▬▬▬▬ - 1 = ..........4.......5 - 4 10.▬▬▬▬ = ..........4..........1 10.▬▬▬▬ = ..........4....10 ▬▬▬▬ = .....4..5 ▬▬ ..2R ▬▬▬► Portanto, a sua soma vale 5/2.Obs. Você poderia simplesmente aplicar a seguinte fórmula para "este caso"( calcular a soma )...+∞...... ..............1 10.∑..rⁿ - 1 = 10.▬▬▬▬ - 1 ..n=0..... .............1 - rOnde;r = 1/5██████████████████████████████████████… **************************************…Por favor não deixe a sua pergunta cair em votação e cuidado com ´´alguns`` usuários que costumam pegar carona nas minhas respostas. Agradeço desde já!!!**************************************… ██████████████████████████████████████Piauí - Teresina , 03/03/2011 Hora 11 : 15 Temperatura 26ºAbraços !!!!!!!!!!Fonte(s)Minha...………………..,-~*’`¯lllllll`*~, …………..,-~*`lllllllllllllllllllllllllll… ………,-~*lllllllllllllllllllllllllllllll… ……,-*lllllllllllllllllllllllllllllllll… ….;*`lllllllllllllllllllllllllll,-~*~-… …..\lllllllllllllllllllllllllll/………\;;… …...\lllllllllllllllllllll,-*………..`~-~… …….\llllllllllll,-~*…………………)_-\..*`*;.… ……..\,-*`¯,*`)…………,-~*`~.………….../ ……...|/.../…/~,…...-~*,-~*`;……………./.\ ……../.../…/…/..,-,..*~,.`*~*…………….*...… …….|.../…/…/.*`...\...……………………)….)¯`~, …….|./…/…./…….)……,.)`*~-,……….../….|..)… ……/./.../…,*`-,…..`-,…*`….,---…...\…./… …...(……….)`*~-,….`*`.,-~*.,-*……|…/.…/…… …….*-,…….`*-,...`~,..``.,,,-*……….|.,*.… ……….*,………`-,…)-,…………..,-*`...,-*….(`-,… ..............f`-,………`-,/…*-,___,,-~*……