Quantas retas tangentes à curva y=x/(x+1) passam pelo ponto (1,2)?Em quais pontos essas retas tangentes…?

As retas procuradas passam pelo ponto (1,2) e são tangentes à curva y = x/(x+1) num ponto desconhecido que vamos chamar de (xA,yA), ou (xA; xA/(xA+1)).
Conhecendo-se dois pontos pelos quais passa a reta, (1,2) e (xA; xA/(xA+1)), o coeficiente angular será, então:
m = Δy/Δx = (yA – 2)/(xA – 1) = [xA/(xA+1) – 2]/(xA – 1)
Como essa reta é tangente à curva nesse ponto, o seu coeficiente angular será o valor da derivada da função y em xA.
m = y'(xA)
Vamos calcular a derivada de y. Usando a regra do quociente:
y'(xA) = 1/(xA + 1)²
Logo, a expressão para o coeficiente angular das retas procuradas também pode ser dada por:
m = 1/(xA + 1)²
Igualando as duas expressões encontradas para o coeficiente angular m:
[xA/(xA+1) – 2]/(xA – 1) = 1/(xA + 1)²
Passando o (xA – 1) para o outro lado, multiplicando:
xA/(xA+1) – 2 = (xA – 1)/(xA + 1)²
Fazendo o M.M.C., para eliminar os denominadores:
[xA(xA + 1) – 2(xA + 1)²]/(xA + 1)² = (xA – 1)/(xA + 1)²
xA(xA + 1) – 2(xA + 1)² = xA – 1
xA² + xA – 2(xA + 1)² = xA – 1
Desenvolvendo o produto notável:
xA² + xA – 2(xA² + 2xA + 1) = xA – 1
Cortando o xA e distribuindo o (-2):
xA² – 2xA² – 4xA – 2 = -1
-xA² – 4xA – 1 = 0
xA² + 4xA + 1 = 0
Resolvendo essa equação do 2º grau, os dois valores de xA são, portanto:
xA = √3 – 2 ou xA = -√3 – 2

Então, são duas retas tangentes. Ambas passam pelo ponto (1,2), e tocam a curva, respectivamente, nos pontos de abscissa (√3 – 2) e (-√3 – 2). Agora, vamos achar as ordenadas desses pontos.
Lembrando que, se a abscissa é xA, como esse ponto faz parte da curva em questão, a ordenada será dada por: xA/(xA+1),
então:
Para xA = √3 – 2 => ordenada = (√3 – 2)/(√3 – 2+1) = (√3 – 2)/(√3 – 1) => multiplicando em cima e embaixo por (√3 + 1) para racionalizar o denominador => [(√3 – 2)*(√3 + 1)]/[(√3 – 1)*(√3 + 1)] => (1 – √3)/(3 – 1) = (1 – √3)/2
Para xA = -√3 – 2 => ordenada = (-√3 – 2)/(-√3 – 2 + 1) = (-√3 – 2)/(-√3 – 1) = (√3 + 2)/(√3 + 1) => multiplicando em cima e embaixo por (√3 – 1) para racionalizar o denominador => (1 + √3)/2

Então, as duas retas tangentes tocam a curva respectivamente nos pontos:
(√3 – 2; (1 – √3)/2) e (-√3 – 2; (1 + √3)/2)