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A Questão é essa. Preciso urgente, pra entregar no começo de janeiro!
Sabendo que F: R²→ R³ é uma transformação linear e que F(1,-1) = (3,2,-1) e F(-1,0) = (1,-1,3), determine T(x,y)
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Na verdade, essa é uma questão apenas de algebra linear, sem nenhuma aplicação à economia, mas vamos lá…
Lembre do teorema sobre transformações lineares que diz o seguinte:
Seja F: V → U uma transformação linear. {v1,…,vn} uma base de V. u1,…,un vetores quaisquer de U, existe uma única transformação linear, tal que F(v1) = u1, … , F(vn) = un.
Com isso:
(1,-1) e (-1,0) formam uma base de R², logo, qualquer vetor (a,b) de R² pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores:
(a,b) = x(1,-1) + y(-1,0) = (x,-x) + (-y,0) = (x-y,-x), o que é equivalente ao sistema de equações lineares abaixo:
x-y = a
-x=b , por substituição retroativa x = -b e y = -a –b. Como F é linear:
F(a,b) = xF(1,-1) + yF(-1,0)
= -b(3,2,-1) + (-a-b) (1,-1,3)
= (-3b,-2b,b) + (-a-b, a+b, -3a-3b)
= (-a-4b,a-b,-3a-2b), logo:
F(x,y) = (-x-4y,x-y,-3y-2y).
Verificando:
F(1,-1) = (3,2,-1) e F(-1,0) = (1,-1,3), o que confirma que F(x,y) = (-x-4y,x-y,-3y-2y) é a transformação em questão.