[|x + 3| / (|x – 2| + |x + 1|)] < 1
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inequação modular
[|x + 3| / (|x – 2| + |x + 1|)] < 1[|x + 3| / (|x - 2| + |x + 1|)] - 1 < 0[|x + 3| - |x - 2| - |x + 1|] / [(|x - 2| + |x + 1|)] < 0Trata-se de uma divisão na qual o dividendo e o divisor devem possuir sinais invertidos para que o resulatado seja negativo (<0). Como o divisor sera sempre positivo ( para qualquer x) , basta que o dividendo seja negativo (<0)[|x + 3| - |x - 2| - |x + 1|] <0Possibilidades de x -->> _____(-3)______(-1)________(+2)________
(I) Para x<-3 -->>[(-)|x + 3| – (-) |x – 2| – (-)|x + 1|] <0>[(+)|x + 3| – (-) |x – 2| – (-)|x + 1|] <0>[(+)|x + 3| – (-) |x – 2| – (+)|x + 1|] <0
-->>-x – 3 + x – 2 + x + 1 <0 -->> x<4 -->> descarto –>> x deve ser x<-3(II) Para -3
-->>x + 3 + x – 2 + x + 1 <0 -->> x<-2/3 -->> descarto –>> x deve ser -3
-->>x + 3 + x – 2 – x – 1 <0 -->> x<0 -->> aceito –>> x deve ser x<2
(IV) Para x>2 –>>[(+)|x + 3| – (+) |x – 2| – (+)|x + 1|] <0
-->>x + 3 – x + 2 – x – 1 <0 -->> x>4 –>> aceito –>> x deve ser x>2
quindi –>> x<0 ..ou x>4
Resposta : x<0 ..ou x>4
Vamos lá.
Tem-se:
[|x+3| / (|x-2)|+|x+1|] < 1 -------vamos passar o "1" para o 1º membro da desigualdade: [|x+3| /(|x-2|+|x+1|] - 1 < 0 -------mmc = |x-2|+|x+1|. Assim: [|x+3|-|x-2|-|x+1|] / [|x-2|+|x+1|]Agora, vamos para as condições de existência de módulos:a) para valores dos fatores modulares do numerador e do denominador sejam maiores do que zero, teremos:[(x+3)-(x-2)-(x+1)[/[(x-2)+(x+1)] < 0 [x+3 - x+2 - x - 1]/[x-2+x+1] < 0 [-x+4]/[2x-1] < 0 Ficamos, portanto, com a divisão de duas equações do 1º grau: f(x)/g(x) Veja que a raiz do numerador (f(x) é -x+4 = 0 ---> -x = -4 —> x = 4.
Como o termo “a” é menor do que zero, então:
Para valores de “x” maiores que 4, f(x) < 0 Para valores de "x" menores que 4, f(x) > 0
Vamos para o denominador: g(x) = 2x – 1. As raízes são:
2x – 1 = 0 —-> 2x = 1—-> x = 1/2.
Como o termo “a” é maior do que zero, então temos:
Para valores de “x” maiores que 1/2, g(x) > 0
Para valores de “x” menores que 1/2, g(x) < 0Graficamente, teríamos a seguinte variação de sinais:a) f(x) = (-x+4)....+++++++++++++++(4)- - - - - - - - - - - - - b) g(x) - (2x-1)...- - - - - - - (1/2)++++++++++++++++++++ c) f(x)/g(x).........- - - - - - - - (1/2)+++++(4) - - - - - - - - - - -Como queremos que f(x)/g(x) < 0, então só vai nos interessar onde tiver sinal de menos (-) no item "c" acima, que é o resultado da divisão de f(x)/g(x). Logo, para essa primeira condição de existência de função modular, a resposta será:x < 1/2 ou x > 4.
b) Vamos à segunda condição de existência de função modular. Agora, vamos considerar que todos os fatores do numerador e do denominador sejam negativos. Assim, teremos que:
[(-x-3)-(-x+2)-(-x-1)]/[(-x+2)+(-x-1)] < 0 [-x-3+x-2+x+1]/[-x+2-x-1] < 0 [x-4]/[-2x+1] < 0Vamos à variação de sinais. No numerador temos f(x) = x-4. A raiz será: x-4 = 0 ----x = 4 . Como o termo "a" é maior do que zero, então: Para valores de x maiores que 4, f(x) > 0
Para valores de x menores que 4, f(x) < 0Vamos ao denominador: g(x) = -2x+1. A raiz será: -2x+1 = 0 ---> -2x = -1 —-> 2x = 1 —-> x = 1/2 . Como o termo “a” é negativo, então:
Para valores de “x” maiores do que zero, g(x) < 0 Para valores de "x" menores doque zero, g(x) > 0
Graficamente, teremos:
a) f(x)=(x-4)…- – – – – – – – – – – – – – (4)++++++++++++++++++
b) g(x)=(-2x+1)…+++(1/2)- – – – – — – – – – – – – – – – – – – – – – –
c) f(x)/g(x)………- – – – (1/2)+++++(4)- – – – – – – – – – – – – – – –
Como queremos que f(x)/g(x) < 0, então só nos interessa onde tiver sinal menos (-) no item "c" acima, que é o resultado da divisão de f(x) por g(x). Assim, a resposta para a 2ª condição será:x < 1/2 ou x > 4 . Veja que a resposta está exatamente igual à da primeira condição que vimos antes.
Logo, a resposta geral será:
x < 1/2 ou x > 4
Ou se quiser:
S = {x £ R / x < 1/2 ou x > 4}.
Ou ainda, se quiser:
S = (1/2; -ºº) U (4; +ºº)
OK?
Adjemir.