h(x)<0 para todo x real, se e somente se, k<-1/2
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A função h(x) representa uma parábola e, sendo assim, existem dois fatores que influenciam no seu sinal: o delta e o coeficiente do termo x^2. Quando o delta é negativo, isso indica que a função inteira possui apenas um único sinal, ou seja, ela é sempre positiva ou sempre negativa. Além disso, nesse caso é o coeficiente do termo x^2 que determinará o sinal da função: se for positivo, então a função será positiva, e vice-versa.
Agora vamos trabalhar a expressão:
Delta = 4*(k +1)^2 – 4k^2 = 8k + 4
Para que o delta seja negativo:
8k + 4 < 0 ==> k < -1/2Como dadas essa condições o coeficiente do termo x^2(ou seja, o próprio k) é negativo, podemos afirmar que h(x) < 0 para todo x real.