Seria então uma divisão natural?

Minha cara:

(Lembrando-se a técnica tradicional da divisão natural)
◦dividendo◦│◦divisor
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦└───────────
───────◦◦quociente
◦◦◦resto

Sabendo-se que 117^6 = 2565164201769 pela calculadora, tem-se que:

◦2565164201769◦│◦7
-21◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦└──────────────
───◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦366452028824
◦◦46
◦-42
◦───
◦◦◦◦45
◦◦◦-42
◦◦◦───
◦◦◦◦◦31
◦◦◦◦-28
◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦36
◦◦◦◦◦-35
◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦14
◦◦◦◦◦◦-14
◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦02
◦◦◦◦◦◦◦◦◦-0
◦◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦20
◦◦◦◦◦◦◦◦◦-14
◦◦◦◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦61
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦-56
◦◦◦◦◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦57
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦-56
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦16
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦-14
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦29
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦-28
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦───
◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦◦1

Então, deduz-se que o valor do resto é 1 (da letra {a}).

Sds

Observação
%%%%%%

[Fonte: título “Números: uma Introdução à Matemática” ( edição de 1991, apostila disponível em http://www.livrariadafisica.com.br/detalhe_produto.aspx?id=12266 ).]

Lembrando-se da relação de igualdade entre os termos numéricos de uma divisão inteira, isto é, dividendo = quociente∙divisor + resto, onde divisor > 0 e 0 ≤ resto < divisor, se já se tiver aprendido o tópico da congruência entre números inteiros (em álgebra, normalmente representada com “≡”, por exemplo), a congruência pode ser usada para os termos da divisão: dividendo ≡ resto (mod divisor), por exemplo. Daí, a congruência é útil (sem a necessidade do uso de calculadora) para a resolução de exercícios parecidos com o dado, pela seguinte propriedade:∀ a, b, m inteiros tais que m > 0, a ≡ b (mod m) ⇒ a^n ≡ b^n (mod m)

Usando-se essa propriedade de congruência para esse exercício específico e sabendo-se que 5 é o resto da divisão natural de 117 por 7, tem-se que:

117 ≡ 5 (mod 7) ⇒ [A] 117^6 ≡ 5^6 (mod 7)

Contudo, sabendo-se que 5^6 = 5^(3∙2) = (5^3)^2 = 125^2, que 6 é o resto da divisão natural de 125 por 7 e que 1 é o resto da divisão natural de 36 por 7, tem-se que:

125 ≡ 6 (mod 7) ⇒ 125^2 ≡ 6^2 (mod 7) ⇒ 125^2 ≡ 36 ≡ 1 (mod 7)

Daí, voltando-se para [A], tem-se que:

117^6 ≡ 125^2 ≡ 1 (mod 7)

Notando-se que 0 < 1 < 7, então se conclui que 1 é o resto da divisão de 117^6 por 7.── ── ── ── ── ── ──Aproveito p/ sugerir q matemática e qq outra matéria é mais fácil de ser estudada se garantir o QI; um modo gratuito de ajudar a preservar o QI e a saúde do sistema nervoso é mudar o estilo de vida p/ um mais feliz, saudável e saboroso ^_^ : http://www.youtube.com/watch?v=Xe_oNnBAtcs&cnl_tv=Supreme%20Master%20TV (informações da Mensa Internacional — a maior e mais antiga sociedade que reúne pessoas com alto QI do mundo — exibidas em um canal de TV global via satélite q traz entrevistas sobre vários temas importantes c/ renomados especialistas locais, regionais, nacionais ou até internacionais dos vários cantos do mundo), http://www.youtube.com/watch?v=U4lgWORL6Oc e http://www.youtube.com/watch?v=7x-UgndYFrA , lembrando q, por exemplo, mercúrio é um elemento encontrado em concentrações preocupantes em peixes e pode causar falhas de memória, dificuldade de atenção, etc e até efeito desastroso no sistema nervoso. E, p/ quem gosta do planeta (beleza natural, etc) e das conquistas humanas (artes, conhecimento, etc), há outro vídeo do mesmo canal com msg importante de pessoas influentes e bem-sucedidas: http://www.youtube.com/watch?v=6q4ynXjr4h4 ou (só em inglês — até pessoal de Hollywood) http://www.youtube.com/watch?v=UneYgIsTjwQ .

Fim!