como provar que a série (logn)/n^2 converge? Ajudem por favor!!?
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Uma possível solução é, como o RCA – PI fez, aplicar o critério da integral. Mas, para isso, há que se atentar para um ponto muito importante, que não pode passar batido: no caso de uma série ∑ a_n onde a_n ≥ 0 para todo n, a sequência a_n tem que ser decrescente. Isto é fundamental. Assim, antes de aplicarmos o teste da integral, é fundamental verficar esta última condição.
No caso de a_n = (log n)/n², isto efetivamente ocorre. Definamos f(x) = (log x)/x², para x > 0. Então, supondo-se que seja log na base 10, f(x) = 1/ln(10) (ln(x)/x² e, portanto, f'(x) = 1/ln(10) (x² . 1/x – 2x ln(x)/x^4 = 1/ln(10) (1 – 2ln(x))/x³. Como 1/ln(10) > 0, temos que f'(x) < 0 para x > e^(1/2). Como 1 < e^(1/2) < 2, vemos que esta função é estritamente decrescente para x ≥ 2, o que implica que nossa sequência a_n seja decrescente (estritamente) para n ≥ 2. Podemos checar facilmente que, na realidade, também para n ≥ 1, mas o que importa é que se torne decrescente a partir de algum n.Com este resultado, podemos aplicar o teste da integral, como o RCA - PI fez. Podemos, também, aplicar o seguinte critério: se a_n é uma sequência decrescente de termos positivos, então, sendo b_k = 2^k a_(2^k), ∑ (n =1, ∞) a_n converge (diverge) se ∑(k = 1, ∞) b_k convergir (divergir). No nosso caso, temos queb_k = 2^k a^_(2^k) = 2^k log(2^k)/((2^k))² = log(2) k 2^(-k)Como, conforme largamente conhecido, lim k^(1/k) = 1, segue-se que lim (b_k)^(1/k) = log(2) lim k^(1/k) 2^(-1)= log(2)/2 < 1. Logo, o teste da raiz mostra que ∑ b_k converge e que, consequentemente, ∑ a_n também converge. (para ∑ b_k, o teste da razão também funciona aqui.)OBS. No caso do teste da integral, conforme feito pelo RCA - PI, encontramos lim (t → ∞) ln(t)/t. Isto é o mesmo que lim (t → ∞) t/e^t. Como e^t = 1 + t...+ t^n/(n!)....., concluímos imediatamente que o limite é 0.
Observe:
Olá amigo tudo bem? Olha seria interessante você postar na próxima pergunta de matematica especificamente na área de matematica. Porém vou responder a sua questão aqui mesmo.
Já que para o teste da razão e o teste da raíz é inconclusivo( verifique ), vamos então aplicar o teste da integral para séries de termos positivos.
+∞……………………………..+∞
.∑ƒ(x).dx é convergente ⇒ ∑ an é convergente
.p……………………………..n = p
Solução:
+∞…log₁₀ n
.∑…▬▬▬▬ , temos an = ( log₁₀ n )/n² > 0 , logo ƒ(x) = ( log₁₀ x )/x² , daí;
n=1…..n²
∞…log₁₀ x
.∫…▬▬▬▬.dx =
¹……..x²
………..t….log₁₀ x
lim…….∫…▬▬▬▬.dx =
t→+∞..¹……..x²
…log₁₀ x
∫▬▬▬▬.dx =
……x²
Transformando para a base “e” logaritmo neperiano (ln), temos:
….ln x
∫▬▬▬▬.dx =
.x².ln 10
……………..ln x
(1/ln 10).∫▬▬▬▬.dx =
………………x²
(1/ln 10).∫ ln x. (dx/x²) =
Vamos resolver a integral por partes, temos:
∫u.dv = u.v – ∫v.du
u = ln x ⇒ du = (1/x).dx que equivale à du = dx/x
dv = (1/x²).dx ⇒ ∫1.dv = ∫(1/x²).dx ⇒ v = – 1/x , então;
(1/ln 10).∫u.dv = (1/ln 10).[ u.v – ∫v.du ] =
(1/ln 10)[ ln(x).(-1/x) – ∫(-1/x).dx/x ] =
(1/ln 10)[ ln(x).(-1/x) + ∫(1/x²).dx ] =
(1/ln 10).{ – [ln(x)]/(x) – (1/x) } =
(1/ln 10).{ [- ln(x) – 1 ]/x) }
Daí;
(1/ln 10).∫ ln x. (dx/x²) = (1/ln 10).{ [- ln(x) – 1 ]/(x) } , ou seja ;
………..t….log₁₀ x
lim…….∫…▬▬▬▬.dx =
t→+∞..¹……..x²
………………………………..t
(1/ln10).lim. [(- ln(x) – 1)/x ] =
…………t→+∞……………..¹
(1/ln10).lim. { [- ln(t) – 1]/(t) + ln(1) + 1 } =
…………t→+∞
(1/ln10).lim. { [- ln(t) – 1]/(t) + 0 + 1 } =
…………t→+∞
(1/ln10).lim. { [- ln(t) – 1]/(t) + 1 } =
…………t→+∞
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Obs.
lim……[(- ln(t) – 1)/t ] =
t→+∞
lim…[(- ln(t) )/(t) – lim (1/t) ] =
t→+∞……………..t→+∞
lim…[(- ln(t) )/(t) – 0 ] =
t→+∞
– lim…[ ln(t) ]/t = ∞/∞ , como temos uma indeterminação , aplicamos L`Hospital,
..t→+∞
deriva numerador e deriva denominador, fica;
– lim…(1/t)/1 =
..t→+∞
– lim…1/t = 0
..t→+∞
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Logo;
(1/ln10).lim.{ [- ln(t) – 1]/(t) + 1 } = (1/ln 10).[0 + 1] = (1/ln 10).( 1 ) = (1/ln 10), como :
…………t→+∞
∞…log₁₀ x
.∫…▬▬▬▬.dx é convergente, pois (1/ln10),então pelo critério da integral a série
¹……..x²
+∞…log₁₀ n
.∑…▬▬▬▬ também converge , c.q.p
n=1…..n²
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Obs.2 Se a sua série for:
+∞…..ln n
.∑…▬▬▬▬ a integral de :
n=1…..n²
…..lnx
.∫…▬▬.dx = – [ln (x) + 1]/x , porém tenho certeza que seja mesmo
……x²
“logaritmo de x na base 10”
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Por favor não deixe a sua pergunta cair em votação e cuidado com ´´alguns“ usuários que costumam pegar carona nas minhas respostas. Agradeço desde já!!!
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Piauí – Teresina , 16/01/2011
Hora 08 : 50
Temperatura 28º
Abraços !!!!!!!!!!
Fonte(s)
Minha…
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