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Quatro alunos e tres alunas devem sair de uma sala em fila. Em nehuma situação duas alunas podem ficar juntas. De quantas maneiras diferentes podem sair todos esses estudantes da sala?
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42 maneiras diferentes .
Para duas alunas ficarem juntas.
6! = 720
Todos os alunos variando.
7! = 5040
Agora, sem as alunas ficarem juntas.
5040 – 720 = 4320
Pelo menos, acho que é isso 🙂
10 maneiras diferentes
. . . . . . . . . . . . . . . . .
► São 7 estudantes (4♂ e 3♀).
Em nenhuma situação duas alunas podem ficar juntas ao sair em fila
→ 1ª possibilidade: 1 combinação (7 posições com 1 ♂ e 1 ♀ alternados)
. . . . . ♀ . . . . ♀ . . . . ♀ . .
. . ♂ ____ ♂ ____ ♂ ____ ♂
. . 1 . .¹ . .1 . . .¹ . .1 . .¹. . 1 → [H m H m H m H]
→ 2ª possibilidade: 6 combinações (equivalente a 6 posições com n ♂ e 1 ♀ alternados)
. . . . . ♀ . . . . ♀ . . . . ♀
. . ♂ ____ ♂ ____ ♂ ____
. . 1 . .¹ . .1 . . ¹ . .2 . . ¹. . → [H . m H . m HH m]
. . 1. . . . .2 . . . . .1. . . . . → [H . m HH m H . m]
. . 2. . . . .1. . . . . 1. . . . . → [HH m H . m H . m]
. . . . . ♀ . . . . ♀ . . . . ♀
. . . ____ ♂ ____ ♂ ____ ♂
. . . . .¹ . .1 . . ¹ . .1 . . ¹. . 2 → [m H . m H . m HH]
. . . . . . . 1 . . . . .2. . . . . 1 → [m H . m HH m H .]
. . . . . . . 2. . . . . 1. . . . . 1 → [m HH m H . m H .]
→ 3ª possibilidade: 3 combinações (equivalente a 5 posições com n ♂ e 1 ♀ alternados)
. . . . . ♀ . . . . ♀ . . . . ♀
. . . ____ ♂ ____ ♂ ____
. . . . .¹ . .1 . . ¹ . .3 . . ¹. . → [m H . . . m HHH m]
. . . . . . . 3 . . . . .1. . . . . → [m HHH . m H . . m]
. . . . . . . 2. . . . . 2. . . . . → [m HH . . m HH . m]
► Note que, se não houvesse qualquer restrição, os estudantes teriam 35 maneiras diferentes para se dispor em fila:
C 7,4 = C 7,3 = 7! ÷ (3! x 4!) = (7 x 6 x 5 x 4!) ÷ (3 x 2 x 4!) = 7 x 5 = 35
4 ♂. . 3 ♀. . .
3 ♂. . 3 ♀. . 1 ♂. . . . .
3 ♂. . 2 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀
3 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 2 ♀
2 ♂. . 3 ♀. . 2 ♂. . . . .
2 ♂. . 2 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀
2 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂. . 2 ♀
2 ♂. . 2 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂
2 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 2 ♀. . 1 ♂
2 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀ ◄
1 ♂. . 3 ♀. . 3 ♂. . . . .
1 ♂. . 2 ♀. . 3 ♂. . 1 ♀
1 ♂. . 1 ♀. . 3 ♂. . 2 ♀
1 ♂. . 2 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂
1 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂. . 2 ♀. . 1 ♂
1 ♂. . 2 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂
1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 2 ♀. . 2 ♂
1 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀ ◄
1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀ ◄
1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂ ◄
3 ♀. . 4 ♂. . . .
2 ♀. . 4 ♂. . 1 ♀
2 ♀. . 3 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂
2 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂
2 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 3 ♂
1 ♀. . 4 ♂. . 2 ♀
1 ♀. . 3 ♂. . 2 ♀. . 1 ♂
1 ♀. . 2 ♂. . 2 ♀. . 2 ♂
1 ♀. . 1 ♂. . 2 ♀. . 3 ♂
1 ♀. . 3 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀ ◄
1 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀ ◄
1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 3 ♂. . 1 ♀ ◄
1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂ ◄
1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂ ◄
1 ♀. . 2 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂. . 1 ♀. . 1 ♂ ◄
→ note que todas as linhas somam 7
→ se, em nenhuma situação, 2 meninas podem ficar juntas, então cada menina deve estar entre pelo menos 2 meninos, e cada menina ocupa uma posição. Portanto, são 3 posições ocupadas por meninas e, juntas, somam 3.
→ deve-se ocupar com ♂ um mínimo de 2 posições e no máximo 4 posições entre as ♀
. . . __♀__ . . . __♀__ . . . __♀__
. . . . . 1 . . . . . . .1 . . . . . . . 1 . . . . . → soma ♀ = 3
. . ♂ . . . . . ♂ . . . . . . ♂ . . . . . .♂ . . → soma ♂ = 7 – 3 = 4
. . 1 . . . . . .1 . . . . . . .1. . . . . . 1 → 4 posições
. . 1 . . . . . .1 . . . . . . .2. . . . . . 0 → 3 posições a partir da extremidade esquerda
. . 1 . . . . . .2 . . . . . . .1. . . . . . 0
. . 2 . . . . . .1 . . . . . . .1. . . . . . 0
. . 0 . . . . . .1 . . . . . . .1. . . . . . 2 → 3 posições a partir da extremidade direita
. . 0 . . . . . .1 . . . . . . .2. . . . . . 1
. . 0 . . . . . .2 . . . . . . .1. . . . . . 1
. . 0 . . . . . .1 . . . . . . .3. . . . . . 0 → 2 posições centrais
. . 0 . . . . . .2 . . . . . . .2. . . . . . 0
. . 0 . . . . . .3 . . . . . . .1. . . . . . 0
→ a soma de ♂ = 4: totaliza 10 combinações