Prove que duas retas concorrentes determinam um plano.?

Você já observou um pedreiro concluindo o ajuste da superfície plana de um
piso? (da sala de sua casa, por exemplo). O que ele faz é gerar um “plano”
apoiando uma régua “de metal ou madeira”, sobre dois “sarrafos” de madeira
que, supostamente, definem o plano.

A prova que vou fornecer é geometrográfica. As equações do plano são, apenas,
relações algébricas que permitem fazer a análise a quantitativa das propriedades
do LG (lugar geométrico), no caso o plano.

Um ponto pertencerá a um plano quando pudermos demonstrar que ele está
sobre (pertence) uma reta do plano. Assim temos um processo de gerar o plano
a partir de retas que definam este plano.

Consideremos uma reta qualquer. Por ela podemos conduzir uma “infinidade” de planos
que, contendo a reta passem por um outro plano qualquer do espaço. (desde que fora da
reta). Tomando na reta dada 2 pontos distintos (não coincidentes) eles definem,
univocamente a reta . Um 3° ponto exterior (como vimos, fixa agora este plano de
maneira única.

Então tudo recai na teoria fundamental 3 pontos quaisquer (não coincidentes) determinam
univocamente um plano. ( I )

Ora 2 retas que já possuem um ponto comum, fornecendo cada uma outro ponto qualquer
satisfazem à condição acima em ( I ).

Duas paralelas (não coincidentes) também definem um plano pois delas se podem
obter 3 pontos distintos, a gosto (2 de uma delas e mais 1 da outra).

O importante, agora, é ver como o plano é gerado.

Apoiando-se uma outra reta nas duas já dadas, e fazendo esta reta descrevente (geratriz
do plano) deslocar-se sem perder os apoios, a cada posição seus pontos definem
posições no espaço. Estes pontos (da geratriz) deixam como que um “carimbo” (marca) de suas sucessivas posições, preenchendo de forma contínua os pontos do plano.

Isto se comprova analiticamente pelo fato de , conecidas as coordenadas de cada ponto (referenciadas a um sistema de 3 eixos não coincidentes, 2 a 2) elas devem satisfazer a “equação” de tal plano.

Até aqui um tratamento geometrográfico do problema. Apelando para a Analítica, a prova consiste em mostrar que um ponto qualquer deste plano pode ser “definido” a partir das coordenadas de 3 pontos distintos (LI) obtidos das 2 retas (obrigatoriamente das 2 e não só de 1).