Sejam a e b raízes reais da equação x² -3kx + k² = 0, tal que a² +b² = 1.75. Qual é valor de k²?

Boa tarde, Lucas.

Eu havia procurado bastante esta outra questão sua sem resposta, mas não havia encontrado. Agora, por acaso, cheguei a ela.

x² – 3kx + k² = 0 → Resolvendo por Bhaskara, fica:
Δ = (-3k) – 4.k² = 9k² – 4k² = 5k²
√Δ = √5k² = ±k√5

x = (3k ± k√5)/2
x’ = (3k + k√5)/2 → = a (primeira raiz)
x” = (3k – k√5)/2 → = b (segunda raiz)

Então, temos:

a² + b² = [(3k + k√5)/2]² + [(3k – k√5)/2]²
a² + b² = (9k² + 6k√5 + 5k²)/4 + (9k² – 6k√5 + 5k²)/4 = 28k²/4 = 7k²
7k² = 1,75
k² = 1,75/7
k² = 0,25
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“Não andeis ansiosos por coisa alguma; antes em tudo sejam os vossos pedidos conhecidos diante de Deus pela oração e súplica com ações de graças; e a paz de Deus, que excede todo o entendimento, guardará os vossos corações e os vossos pensamentos em Cristo Jesus.” – Filipenses 4:6–7